sábado, 26 de noviembre de 2022

Esbozo a una concepción filosófica de las matemáticas

 

Introducción

La filosofía de la matemática, al igual que la diosa Hestia, es la más joven y la más mayor de las ramas de la filosofía. Hoy en día representa una nuevísima esfera del pensamiento filosófico que trastoca el sueño tanto de matemáticos, como de filósofos de la ciencia. Grandes avances en la teoría de conjuntos, la reducción logicista de la teoría de números, el estudio de las geometrías no euclidianas o la ingeniería computacional son producto de la reflexión y el arduo trabajo de grandes personalidades de la época contemporánea. Sin embargo, la reflexión de los fundamentos de la matemática y el estatuto ontológico de las entidades que la componen tienen orígenes muy lejanos, siendo que la filosofía de la matemática es tan antigua como la propia matemática. Uno de los primeros grandes matemáticos de renombre, Tales de Mileto (626-546 a. C.), fue a su vez el primer gran filósofo de la Antigua Grecia. No obstante, solo a partir de Platón (427-347 a. C) es cuando los historiadores disponen de una doctrina filosófica acerca de la matemática plenamente elaborada, al menos desde el punto de vista ontológico (Lorenzo, 2000).

Desde su invención (o descubrimiento, depende de la opinión filosófica de cada uno), la matemática ha supuesto la base estructural de las diferentes ciencias que el ser humano ha ido desarrollando penosamente en contraposición a la magia, el mito y la religión. De hecho, la ciencia más antigua, la astronomía, requiera de unos conocimientos matemáticos de cierto nivel para poder realizar predicciones más precisas de las estaciones o calcular distancias, entre otras utilidades (Gowers, 2008).

La matemática supone la forma con la que la ciencia puede establecer ciertas leyes generales. Estas describen con un grado de validez y precisión considerable varias regularidades empíricas que de otra manera serían muy difíciles de captar. Un ejemplo es la ley de los gases ideales. Esta ley relaciona diferentes cualidades de un hipotético gas ideal por medio de una simple ecuación: PV=nRT. Esta última establece relaciones proporcionales entre varias magnitudes, como es el caso de la presión del gas (P), el volumen (V), el número de moles que componen dicho gas (n), la temperatura absoluta (T), y de una constante física, la constante universal de los gases ideales (R). A su vez, las magnitudes son conceptos matemáticos que hacen referencia a determinadas cantidades y cualidades físicas. Las teorías científicas de todo tipo y disciplinan recurren a la matemática para establecer sus principios fundamentales, organizar sus magnitudes en constructos teóricos robustos que permitan describir, explicar y predecir los fenómenos de una región determinada del propio universo (Bunge, 2015).

Al igual que la lógica simbólica, la utilidad de la matemática en las diferentes ramas de la ciencia, desde la astronomía hasta la economía, pasando por la biología; ha provocado que varios filósofos y matemáticos consideren a esta como el lenguaje de la ciencia, la forma por la cual se sintetizan las teorías científicas y se plasman de forma sencilla las regularidades empíricas del universo observable. (Hahn, 1986).

Una de las cuestiones más importantes de la filosofía de las matemáticas es el estatuto ontológico de los elementos que componen el saber matemático, englobándose a su vez en la vieja disputa entre la naturaleza epistemológica de nuestra propia experiencia. Dependiendo de las postura o enfoque que se tome como válido, los elementos de las matemáticas pueden entenderse como objetos provistos de una realidad ontológica propia (realismo matemático), como propiedades inmanentes a los objetos físicos (aristotelismo matemático), o como un lenguaje que inventa el ser humano para hacer generalizaciones y abstracciones útiles para la ciencia (nominalismo matemático), entre otras muchas postura híbridas e intermedias (Caba, 1998).

Estas consideraciones epistemológicas acerca de la realidad ontológica de las matemáticas pueden parecer fútil desde un punto de vista puramente pragmático. Al carnicero del barrio no le importa demasiado la presencia o ausencia de realidad propia de los números que utiliza para examinar el peso de sus productos, ni tampoco demasiado le importará la naturaleza ontológica del espacio geométrico al arquitecto que diseña un genérico (además de caro) bloque de pisos en un barrio del extrarradio (Mosterín, 2016).

De hecho, estas cuestiones son totalmente olvidadas por nuestro sistema educativo a la hora de proporcionar los “conocimientos y capacidades matemáticas” que estiman necesarias para las generaciones más jóvenes. Difícilmente un alumno de bachillerato tendrá en consideración el concepto de número o las diferentes concepciones teóricas de la probabilidad a la hora de realizar su examen de acceso a la universidad. Los propios matemáticos deben de reconocer que estas cuestiones no son muy populares entre especialistas, algo que el propio Bertrand Russell reconoce en algunos de sus escritos de carácter más pedagógico (Russell, 1999). 

No debe de sorprender demasiado, ya que está en nuestra propia condición genética y cultural este desquite aparente hacia las cuestiones más “trascendentales” del saber matemático. Desde la psicología evolutiva, se sabe de forma consistente que el desarrollo de la capacidad abstractivo-matemática es un proceso muy complejo. Este requiere mucho tiempo y energía para la maduración de las estructuras neuronales que posibilitan el razonamiento matemático. Además, dicho razonamiento esta mediado por la cultura, tanto por el sistema lingüístico de la comunidad por el cual se transmiten los conocimientos matemáticos, como por las concepciones matemáticas que posea dicha comunidad (Mosterín, 2016).

Esto explica que la matemática romana sea mucho más pragmática que la matemática de los indios, ya que la primera partía de un sistema en el que no se incluían elementos como el número 0, lo cual imposibilita la especulación teórica, reservando la matemática romana a actividades mucho más prácticas como la arquitectura o la economía (Boyer, 1999).

El conocimiento matemático también esta mediado por la concepciones o prejuicios filosóficos de sus usuarios. Los antiguos filósofos griegos pudieron fundar la matemática teórica debido a la naturaleza especulativa de sus reflexiones filosóficas. Sus elucubraciones metafísicas posibilitaron la especulación abstracta sobre el espacio geométrico, algo que culmina con la bellísima obra del matemático helenístico Euclides (325 a. C- 265 a. C). Los Elementos de Euclides suponen la elaboración de toda una teoría abstracta acerca del espacio geométrico y sus elementos tan exitosa, a pesar de sus errores, aún produce placer leerlo en la actualidad (Boyer, 1999).

Algunos como Gustavo Bueno (1924-2016) se aventuran a afirmar que la filosofía solo pudo ser posible con el surgir de la geometría. Al margen de estas dudosas declaraciones, la filosofía ha tenido (y sigue teniendo) una intensa relación con el saber matemático. No solo cabe destacar el hecho de que grandes matemáticos como Tales, Pitágoras, Leibniz, Euler, Cantor, Frege, Russell o Quine entre otros eran a su vez grandes filósofos, sino que determinadas concepciones filosóficas influyen en el propio conocimiento matemático (Bueno, 1993).

A pesar de los grandes avances en geometría de los antiguos griegos, su aritmética y álgebra era bastante limitada. La concepción ontológica del Ser helénica (imbuida por Parménides, Platón y Aristóteles), imposibilitaba a estos a considerar la posibilidad de los números negativos. Esto se debe a que los griegos consideraban que el Ser es lo que es, es decir, el ente, lo permanente, aquello que tiene cualidad, siendo que los números negativos no podían ser posibles, ya que pertenecían al no-ser, a la nada más allá del oscuro cero. Estos prejuicios metafísicos hicieron que los griegos (y por consiguiente los romanos) no pudieran desarrollar los avances matemáticos que otras culturas llevaron a cabo, como los antiguos indios, los árabes y los mayas (Boyer, 1999).

Las cuestiones más fundamentales del conocimiento matemático son esenciales para entender la naturaleza propia de las matemáticas como la de nuestro propio razonamiento, además de la posibilidad de desarrollar importantes aplicaciones técnico-científicas si se posee la concepción matemática adecuada. Cuando un realista, un intuicionista o un formalista discuten sobre 2+2=4, cada uno de ellos ve cosas distintas, las cuales conllevan a consecuencias empírico-racionales diferentes (Caba, 1998).

Realismo platónico

La postura filosófica (al menos formalizada) más antigua es el realismo matemático. Esta fue desarrollada por Platón (427- 347 a. C.). Imbuido por la metafísica de Parménides, el misticismo matemático de los pitagóricos, y la dialéctica socrática, Platón reflexiona sobre el estatuto ontológica de las entidades matemáticas. Para el filósofo ateniense, los entes matemáticos tienen un estatus ontológico propio, suponiendo una postura intermedia entre los objetos ideales, como el Bien, y los materiales, como las mesas o los animales (Caba, 1998).

No obstante, esta postura adquiere mayor relevancia a finales del S.XIX. Fue Paul Bernays (1888-1977), el cual estableció el termino de platonismo matemático con la intención de establecer una concepción filosófica en la que los objetos matemáticos no son inventados con un propósito, sino que son descubiertos por el propio ser humano. Esto se debe a que estos son ontológicamente independientes al sujeto cognoscibles, es decir, los objetos matemáticos son ajenos a la mente huma y no están sujetos al espacio y el tiempo. Según el matemático y lógico austriaco Kurt Godël (1906-1978), si las matemáticas fuesen hipótesis subjetivas creadas por la menta humana, cualquier teorema podría ser demostrado, algo que contradice sus propios teoremas de incompletitud (Caba, 1998).

Una de las defensas acérrima la encontramos en la obra del filósofo y matemático alemán Gottlob Frege (1848-1925). Para este autor, la realidad se compone únicamente de objeto y función. Objeto es todo aquello que es concreto. Las personas, los átomos, las estrellas o los números naturales son objetos. El argumento de Frege se resume en que los números naturales aparecen en enunciados verdaderos simples. Estos solo pueden ser verdaderos si los objetos a los que hace referencia existen realmente, siendo que los números naturales son objetos abstractos independientes al mundo físico y a la mente humana, es decir, “objetos no físicos” (Frege, 1984).

Numerosos matemáticos y lógicos defienden esta postura, tal y como expone el filósofo australiano J.J.C. Smart (1920-2012) en su libro Nuestro lugar en el universo, un enfoque metafísico (1989). Uno de los argumentos más famosos en el dado por Willard Van Orman Quine (1908-2000). Este matemático y lógico estadounidense afirma que hay que estar ontológicamente comprometido con aquellas entidades que son necesarias en las mejores teorías científicas. Quine plante un argumento convencionalista para defender el realismo de las entidades matemáticas (Quine, 1984).

J.J. Smart afirma el realismo matemático es sumamente popular entre muchos matemáticos teóricos y filósofos de las matemáticas debido en parte a la dificultad que existe a la de dilucidar los objetos matemáticos como entidades físicas. Esto podría eliminar de nuestro lenguaje matemático todo resto de ontología, algo que no ha llegado aún a ningún consenso. El realismo matemático, tanto la variante platónica como la fisicalista, presenta multitud de dificultades, de las cuales solo se van a indicar un par de ellas (Smart, 1992).

En primer lugar, si los objetos matemáticos como los números naturales, los conjuntos o los espacios topológicos son entidades abstractas independientes, ¿cómo es posible que el ser humano pueda acceder a ella? Si son totalmente independientes a la mente humana, ¿cómo es posible que sean cognoscibles por esta? Es el viejo problema de la comunicación de las sustancias de Descartes (1596-1650) (Caba, 1998).

En segundo lugar, la reducción de entidades matemáticas a objetos físicos no es nada fácil cuando se trata de determinados conceptos matemáticos. Los números complejos, que no son más que un polinomio compuesto por varios números reales, además de un número imaginario. Otro ejemplo son los espacios geométricos de más de 5 dimensiones. Los avancen en los campos de la física cuántica o la moderna computación plantean interesantes soluciones a este último problema epistemológico (Gowers, 2008).

El Convencionalismo

El convencionalismo matemático no es más que una consecuencia del positivismo y pragmatismo de finales del siglo XIX. La ide principal de esta corriente es que los sistemas matemáticos no existen por sí mismos ni son verdaderos en sí mismos, sino que son el resultado de las conveniencias de sus usuarios en sus respectivas teorías científicas. Destaca en esta corriente la figura del matemático y físico Henri Poncaire (1854-1912). Primo del Presidente de Francia conservador Raymond Poncaire (1860-1934), aportó grandes avances en numerosos campos: desde el desarrollo de las geometrías no-euclidianas, pasando por los precedentes de la mecánica relativista, hasta la filosofía de la ciencia (Caba, 1998).

En la época de Poncaire, la geometría estaba sufriendo una profunda transformación, pues es en este periodo se desarrollaron complejos sistemas geométricos que no cumplían los principios de la geometría euclidiana, la cual se consideraba como un pilar básico del conocimiento matemático. Tal fue el prestigio de esta geometría, que para el gran filósofo prusiano Immanuel Kant (1724-1804) representa los principios básicos de la Estética trascendental. Esta última no es más que la intuición a priori del espacio y el tiempo, las bases trascendentales que posibilitan toda sensación empírica. Según Kant, los principios de Euclides son la base a prior que posibilita toda experiencia (Ajdukiewicz, 1994).

No obstante, los trabajos de numerosos matemáticos como Gauss (1777-1855),  Lobachevsky (1792-1856) o Riemann (1826-1866) desarrollaron sistemas geométricos que no cumplían los postulados de Euclides, en especial el V, el llamado “postulado de las paralelas”. Estos nuevos sistemas geométricos produjeron cierto escándalo entra algunos matemáticos, como Frege. Sin embargo, estos sistemas fueron progresivamente aceptados por la comunidad científica, siendo uno de ellos el propio Poncaire (Ajdukiewicz, 1994).

Sus estudios en geometría, en especial en las propiedades del propio espacio, llevaron a Poncaire a demostrar el carácter puramente convencional de las características que suelen atribuirse al espacio. Según Poncaire no hay ninguna razón para considera al espacio como una entidad autónoma a las relaciones físicas entre los cuerpos, a la vez que tampoco es una forma a priori del aparato cognoscitivo del sujeto. Desde esta óptica, el concepto de espacio tiene una génesis empírica, pero los múltiples espacios que se utilizan en diferentes ramas de la geometría y la física son una simplificación conceptual ajustada a los datos de la experiencia. La geometría euclidiana no suele utilizarse por su veracidad, sino porque es el resultado de la acomodación de nuestro aparato conceptual a los datos de nuestros sentidos (Ajdukiewicz, 1994).

En el campo de la filosofía de la lógica, el positivismo lógico intenta hacer una síntesis entre el convencionalismo y el logicismo. Su mayor exponente, el filósofo alemán Rudolf Carnap (1898-1970), entiende que los sistemas matemáticos pueden traducirse a cierta sintaxis lógica. Ahora bien, no hay ningún criterio máximo que permita discernir entre sistemas lógicos, siendo su elección guida por principios puramente convencionales. Carnap entiende que la lógica matemática puede tener diferentes configuraciones en función de las relaciones que establecen sus elementos, y su aplicación determinada, algo que acerca esta posición al formalismo matemático. Esto último queda reflejado en sus famosos “principio de tolerancia”, el cual reza que no existe un lenguaje lógico correcto, pudiendo elegir el lenguaje que sea en función del propósito que uno se proponga, al que el propio Quine, amigo de Carnap, siempre le reprochó (Carnap, Morgenstern, & Wiener, 1974) (Stroll, 2002).

El convencionalismo es una postura muy cómoda en la filosofía de las matemáticas. Los objetos matemáticos no son entidades autónomas ontológicamente hablando, sino elementos que establecen multitud de relaciones, componiendo estructuras, modelos y sistemas con una utilidad determinada. Las matemáticas solo son un lenguaje más que sirve para un propósito muy determinado. El convencionalista no se pregunta por la naturaleza de los números naturales o la del espacio geométrico, sino la función que tienen para un propósito determinado (Gowers, 2008).

Formalismo matemático

La obra del alemán David Hilbert (1862-1942) es la máxima representación de lo que se conoce como formalismo matemático. Esta postura se desarrolló durante la disputa entre este y Frege acerca de la naturaleza del método axiomático. Esta disputa es explicada con mucho detalle por el filósofo, matemático y antropólogo español Jesús Mosterín (1941-2017) en su libro Conceptos y teorías en la ciencia (1984). Para Hilbert, los constructos axiomáticos propios de las matemáticas no son más que cadenas de caracteres que siguen determinadas reglas. Este sistema formal está integrado por conjuntos de elementos fundamentales, las relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones. Los constructos matemáticos no son más que estructuras formales que parte de una serie de elementos primitivos. Ahora bien, ningún sistema es más correcto que otro, siempre y cuando no sean contradictorios (Mosterín, 2016).

Frege entendía que la no podía existir varias geometrías correctas. La geometría euclidiana no puede coexistir junto con otras geometrías, ya que, según Frege, la verdad es solo una, y por tanto solo puede haber una geometría. Hilbert estaba en total desacuerdo, ya que el argumentaba que los sistemas geométricos no son verdaderos o falsos, sino más o menos coherentes según su construcción interna partiendo de sus axiomas más elementales. La elección de unos axiomas matemáticos u otros no dependen de su verdad, no son proposiciones sobre algo, lo que importa realmente son las relaciones que se establecen entre ellos (Mosterín, 2016).

Esta postura sufrió un duro golpe tras la formulación del teorema de incompletitud de Gödel. No obstante, el formalismo ha podido subsistir mezclándose con el convencionalismo. Un ejemplo claro es la postura que tienen el matemático británico Timothy Gowers (1965). En su libro Matemáticas: Una breve introducción (2004), afirma que lo más importante de los conceptos matemáticos no es lo que son, sino lo que hacen dentro de un sistema de reglas (Gowers, 2008).

Logicismo

El logicismo fue una de las posturas más populares durante la primera mitad del S.XX. Iniciado por Cantor (1845-1918) y Frege entre otros, supuso un estímulo al desarrollo de la lógica-matemática, estableciendo no solo los métodos de la actual lógica, sino los fundamentos de esta. Esta postura surge con el desarrollo de la teoría de conjuntos de la mano de Cantor, pero sobre todo en el intento de reducir la teoría de números de Peano (1858-1932) a los principios de la lógica simbólica, tarea realizada inconclusamente en la obra fundamental de Frege, Fundamentos de la Aritmética (1884). Sin embargo, la crítica a la teoría de conjuntos clásica por parte de Russell imposibilitó la obra Frege, sumiendo a este en un profundo sopesar hasta el final de sus días (Thiel, 1972).

Sin embargo, el propio Russell entiende que los principios matemáticos pueden expresarse a partir del lenguaje proposicional de la lógica, siendo la lógica y la matemática aspectos de un mismo saber, la lógica-matemática, la cual es la estructura fundamental que posibilita todo nuestro conocimiento acerca de la realidad. Ya en Los principios de la Matemática (1903) Russell establece los pilares básicos de su concepción de la matemática como de una extensión de la lógica simbólica. Sin embargo, es en una de sus grandes obras maestras, Principia Mathematica (1910-1913), junto con Alfred North Whitehead (1861-1946), en la que Russell establece todo el proyecto logicista al completo, siendo inicialmente alabado por notables figuras de la época como Carnap o el primer Wittgenstein (1889-1951) (Carnap, Morgenstern, & Wiener, 1974) (Stroll, 2002).

Con la obra de Gödel, sobre todo sus teoremas de la incompletitud, el proyecto logicista llegó a un campo sin salida, no pudiendo fundamentar la matemática sobre la lógica simbólica. Sin embargo, a pesar de la imposibilidad de dicha reducción, tanto la lógica como la matemática han podido cooperar en multitud de campos, desde la teoría de conjuntos, hasta la probabilidad. A pesar de su caducidad, el logicismo ha supuesto un gran impulso tanto a la lógica como la matemática, abriendo multitud de perspectivas y campos de estudio tanto prácticos como especulativos (Stroll, 2002).

Intuicionismo matemático

Iniciado por Jan Brouwer (1881-1966), el intuicionismo matemático afirma que es la matemática la que posibilita la lógica y no viceversa, puesto que el ser humano posee una supuesta intuición natural que construye los conceptos y relaciones matemáticas. Esta intuición matemática (de herencia neokantiana) precede a toda lógica y pensamiento, siendo que todo sistema matemático se fundamenta en la intuición primordial de los números naturales. Para los partidarios de esta postura, las matemáticas son un producto de la mente humana en base a dicha intuición natural, siendo que la verdad de una proposición matemática no depende de su naturaleza ontológica (realismo) o de su estructura lógica (logicismo), sino de la posibilidad de ser construida por la mente humana a partir de dicha intuición (Lorenzo, 2000).

Notables matemáticos y filósofos han compartido esta perspectiva en diferentes campos de la lógica-matemática. Los axiomas y reglas elementales de la teoría elemental de la probabilidad del ruso Andréi Kolmogórov (1903-1987) es un buen ejemplo. A partir de unos principios básicos intuitivos, Kolmogóv establece los fundamentos de la teoría de la probabilidad, sin inmiscuirse en tema ontológica alguno (al menos aparentemente). Dicha postura presenta ciertos problemas, pues se basa en la supuesta existencia de una “intuición matemática natural” que posibilita toda matemática en general, algo que adolece de problemas parecidos a la estética trascendental kantiana (Kolmogorov, 1982).

Empirismo y psicologismo

Las reflexiones de algunos filósofos empiristas como David Hume (1711-1776), Stuart Mill (1806-1873) o Auguste Comte (1789-1857) llegaron a la conclusión de que las matemáticas solo son un leguaje idealizado que hace referencia a generalizaciones empíricas propias de las ciencias naturales. En libro Un sistema de lógica (1843), Mill establece que tanto la lógica como la matemática no son más que ciencias empíricas, las cuales tienen un grado de validez muy general. Los axiomas parten de la observación y en generalizaciones a partir de experiencias repetidas. Las teorías matemáticas no son más que generalizaciones psicológicas producto de la inducción empírica (Kolakowski, 1981).

Debido a las críticas recibidas por Frege, pero sobre todo de su discípulo Edmund Husserl  (1859-1938) dieron un notable descredito a esta postura. Sin embargo, los trabajos de Lakatos (1922-1974), Putnam (1926-2016) o Quine entre otros ha revitalizado esta postura. Para estos autores, la matemática no es más que un lenguaje específico, el cual, como todo lenguaje, tiene una referencia hacia algo externo, siendo la experiencia empírica la base de todas las abstracciones matemáticas, como es el caso de teoría frecuencialista de la probabilidad. El lógico y matemático polaco Kazimierz Ajdukiewicz (1890-1963) llego a afirmar que las proposiciones a priori están basadas en algún aspecto en la experiencia empírica (Ajdukiewicz, 1994).

Algunas conclusiones

Todas las posturas y las perspectivas analizadas a lo largo de este artículo tienen numerosas ideas valiosas tanto para la ciencia como la filosofía. Lo que sigue es solo un intento de síntesis por parte del autor, la cual no está exenta de errores y posibles correcciones que el tiempo planteará.

En primer lugar, creo que el conocimiento matemático es un conjunto de sistemas de relaciones formales que permite la construcción de modelos abstractos de determinadas generalidades empíricas. Las matemáticas son sistemas formales que utilizamos por conveniencia para describir determinadas regularidades empíricas de todo tipo. Un ejemplo son las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones no son más que estructurales formadas que establecen relaciones entre determinados elementos abstractos que hacen referencia a variables físicas (Garrido, 1989) (Bunge, 2015).

Es cierto que muchos sistemas matemáticos no tienen una relación directa con la experiencia empírica. Los números complejos o algunas geometrías no euclidianas son buenos ejemplos. Sin embargo, algunos de estos elementos han sido incorporados en numerosas teorías científicas debido a su utilidad, como puede ser la mecánica cuántica o la física relativista. Utilizamos los modelos matemáticos por su utilidad y conveniencia. Ahora bien, esta utilidad no se basa por criterios arbitrarios o estéticos, sino por la capacidad que tienen estos modelos de representar las regularidades empíricas que estudian todas las ciencias, desde la física y a la biología, hasta la psicología y la economía, aceptando estas como propiamente reales (con un grado de probabilidad). (Bunge, 2015) (Kolmogorov, 1982)

 Como psicólogo, creo que el avance en la teoría de la probabilidad y los métodos estadísticos han proporcionado una base robusta para la emancipación de esta diciplina como una ciencia de pleno derecho. Creo que la psicología (al igual que el resto de las ciencias) debe de profundizar en la filosofía de la ciencia y seguir desarrollando nuevos modelos matemáticos que sean útiles para describir, explicar y predecir la gran fuente de todo nuestro conocimiento riguroso, la experiencia empírica (Lakatos, 1999) (Suárez, 2022)

 Referencias Bibliográficas

Ajdukiewicz, K. (1994). Introducción a la Filosofía, epistemología y metafísica. Madrid : Cátedra Colección Teorema.

Boyer, C. B. (1999). Historia de la matemática. Madrid: Alianza Editorial.

BOYER, C. B. (s.f.). Historia de la matem.

Bueno, G. (1993). Teoría del cierre categorial, Vol 2: La Gnoseología como filosofía de la ciencia. Historia de la teoría de la ciencia. Gijón: Pentalfa.

Bunge, M. (2015). A la caza de la realidad . Barcelona: Gedisa.

Caba, A. (1998). Balance de la filosofía de la matemática en el XX . En P. Martínez-Freire, Filosofía Actual de la Ciencia (págs. 271-305). Málaga: Revista Interdisciplinar de Filosofía .

Carnap, R., Morgenstern, O., & Wiener, N. (1974). Matemáticas en las ciencias del comportamiento. Madrid: Alianza Editorial.

Frege, G. (1984). Estudios sobre Semántica. Barcelona: Orbis.

Garrido, M. (1989). Lógica y lenguaje. Madrid : Tecnos .

Gowers, T. (2008). Matemáticas: Una breve introducción. Madrid: Alianza Editorial .

Hahn, H. (1986). Lógica, matemática y conocimiento de la naturaleza . En A. Ayer, El positivismo lógico (págs. 153-170). Ciudad de México: Fondo de Cultura de Económica México .

Kolakowski, L. (1981). La Filosofía Positivista. Madrid: Cátedra Colección Teorema.

Kolmogorov, A. (1982). Teoría de la Probabilidad . En A. Aleksandrov, A. Kolmogorov, & M. Laurentiev, La matemática: su contenido, métodos y significado vol 2 (págs. 269-310). Madrid : Alianza Editorial .

Lakatos, I. (1999). Estrictos Filosóficos. 2. Matemáticas, ciencia y epistemología . Madrid : Alianza Editorial .

Lorenzo, J. d. (2000). Filosofías de la Matemática Fin de Siglo XX. Valladolid: Universidad de Valladolid.

Mosterín, J. (2016). Conceptos y Teorías en la Ciencia. Madrid: Alianza Editorial.

Quine, W. (1984). Desde el punto de vista lógico . Barcelona : Orbis .

Russell, B. (1999). Misticismo y lógica. Barceona: Biblioteca Universal del Círculo de Lectores.

Smart, J. (1992). Nuestro lugar en el universo, un enfoque metafísico. Madrid: Tecnos.

Stroll, A. (2002). La filosofía analítica . Madrid: Siglo Veintiuno de España Editores.

Suárez, M. (2022). Filosofía de la Ciencia. Historia y Práctica . Madrid : Tecnos .

Thiel, C. (1972). Sentido y referencia en la lógica de Gottlob Frege. Madrid : 1972.

 

No hay comentarios:

Publicar un comentario

La escula Austria de economía y la pseudociencia de la praxología

 Una de las escuelas de pensamiento económica que se se ha puesto de moda entre muchos políticos, ideólogos y demás difamadores es la escuel...